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            八年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)資料

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            八年級數(shù)學(xué)上冊知識點總結(jié)資料

              第十三章 軸對稱

              一、軸對稱圖形

              1. 把一個圖形沿著一條直線折疊,如果直線兩旁的部分能夠完全重合,那么這個圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們也說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸)對稱。

              2. 把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能與另一個圖形完全重合,那么就說這兩個圖關(guān)于這條直線對稱。這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點是對應(yīng)點,叫做對稱點

              3、軸對稱圖形和軸對稱的區(qū)別與聯(lián)系

              4.軸對稱的性質(zhì)

             、訇P(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形。

              ②如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

              ③軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

             、苋绻麅蓚圖形的對應(yīng)點連線被同條直線垂直平分,那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

              二、線段的垂直平分線

              1. 經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫中垂線。

              2.線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等

              3.與一條線段兩個端點距離相等的點,在線段的垂直平分線上

              三、用坐標(biāo)表示軸對稱小結(jié):

              在平面直角坐標(biāo)系中,關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù).關(guān)于軸對稱的點橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)相等.

              2.三角形三條邊的垂直平分線相交于一點,這個點到三角形三個頂點的距離相等

              四、(等腰三角形)知識點回顧

              1.等腰三角形的性質(zhì)

              ①.等腰三角形的兩個底角相等。(等邊對等角)

             、.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。(三線合一)

              2、等腰三角形的判定:

              如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等。(等角對等邊)

              五、(等邊三角形)知識點回顧

              1.等邊三角形的性質(zhì):

              等邊三角形的三個角都相等,并且每一個角都等于600 。

              2、等邊三角形的判定:

              ①三個角都相等的三角形是等邊三角形。

              ②有一個角是600的等腰三角形是等邊三角形。

              3.在直角三角形中,如果一個銳角等于300,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

              1、等腰三角形的性質(zhì)

             。1)等腰三角形的性質(zhì)定理及推論:

              定理:等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角)

              推論1:等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。

              推論2:等邊三角形的各個角都相等,并且每個角都等于60°。

             。2)等腰三角形的其他性質(zhì):

             、俚妊苯侨切蔚膬蓚底角相等且等于45°

             、诘妊切蔚牡捉侵荒転殇J角,不能為鈍角(或直角),但頂角可為鈍角(或直角)。

             、鄣妊切蔚娜呹P(guān)系:設(shè)腰長為a,底邊長為b,則

             、艿妊切蔚娜顷P(guān)系:設(shè)頂角為頂角為∠A,底角為∠B、∠C,則∠A=180°—2∠B,∠B=∠C=

              2、等腰三角形的判定

              等腰三角形的判定定理及推論:

              定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱:等角對等邊)。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。

              推論1:三個角都相等的三角形是等邊三角形

              推論2:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

              推論3:在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

              等腰三角形的性質(zhì)與判定

              等腰三角形性質(zhì)

              等腰三角形判定

              中線

              1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊,平分頂角;

              2、等腰三角形兩腰上的中線相等,并且它們的交點與底邊兩端點距離相等。

              1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形;

              2、如果一個三角形的一邊中線垂直這條邊(平分這個邊的對角),那么這個三角形是等腰三角形

              角平分線

              1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊;

              2、等腰三角形兩底角平分線相等,并且它們的交點到底邊兩端點的距離相等。

              1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個角的對邊(平分對邊),那么這個三角形是等腰三角形;

              2、三角形中兩個角的平分線相等,那么這個三角形是等腰三角形。

              高線

              1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊;

              2、等腰三角形兩腰上的高相等,并且它們的交點和底邊兩端點距離相等。

              1、如果一個三角形一邊上的高平分這條邊(平分這條邊的對角),那么這個三角形是等腰三角形;

              2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。

              角

              等邊對等角

              等角對等邊

              邊

              底的一半<腰長<周長的一半

              兩邊相等的三角形是等腰三角形

              4、三角形中的中位線

              連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。

             。1)三角形共有三條中位線,并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。

             。2)要會區(qū)別三角形中線與中位線。

              三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半。

              三角形中位線定理的作用:

              位置關(guān)系:可以證明兩條直線平行。

              數(shù)量關(guān)系:可以證明線段的倍分關(guān)系。

              常用結(jié)論:任一個三角形都有三條中位線,由此有:

              結(jié)論1:三條中位線組成一個三角形,其周長為原三角形周長的一半。

              結(jié)論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

              結(jié)論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

              結(jié)論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

              結(jié)論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。

              第十四章 整式乘除與因式分解

              一.回顧知識點

              1、主要知識回顧:

              冪的運算性質(zhì):

              a·an=a+n (、n為正整數(shù))

              同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加.

              = an (、n為正整數(shù))

              冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘.

              (n為正整數(shù))

              積的乘方等于各因式乘方的積.

             。 a-n (a≠0,、n都是正整數(shù),且>n)

              同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減.

              零指數(shù)冪的概念:

              a0=1 (a≠0)

              任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于l.

              負指數(shù)冪的概念:

              a-p= (a≠0,p是正整數(shù))

              任何一個不等于零的數(shù)的-p(p是正整數(shù))指數(shù)冪,等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù).

              也可表示為:(≠0,n≠0,p為正整數(shù))

              單項式的乘法法則:

              單項式相乘,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘,作為積的因式;對于只在一個單項式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

              單項式與多項式的乘法法則:

              單項式與多項式相乘,用單項式和多項式的每一項分別相乘,再把所得的積相加.

              多項式與多項式的乘法法則:

              多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘,再把所得的積相加.

              單項式的除法法則:

              單項式相除,把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除,作為商的因式:對于只在被除式里含有的字母,則連同它的指數(shù)作為商的一個因式.

              多項式除以單項式的法則:

              多項式除以單項式,先把這個多項式的每一項除以這個單項式,再把所得的商相加.

              2、乘法公式:

             、倨椒讲罟剑海╝+b)(a-b)=a2-b2

              文字語言敘述:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘,等于這兩個數(shù)的平方差.

             、谕耆椒焦剑海╝+b)2=a2+2ab+b2

              (a-b)2=a2-2ab+b2

              文字語言敘述:兩個數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍.

              3、因式分解:

              因式分解的定義.

              把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.

              掌握其定義應(yīng)注意以下幾點:

              (1)分解對象是多項式,分解結(jié)果必須是積的形式,且積的因式必須是整式,這三個要素缺一不可;

              (2)因式分解必須是恒等變形;

             。3)因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.

              弄清因式分解與整式乘法的內(nèi)在的關(guān)系.

              因式分解與整式乘法是互逆變形,因式分解是把和差化為積的形式,而整式乘法是把積化為和差的形式.

              二、熟練掌握因式分解的常用方法.

              1、提公因式法

             。1)掌握提公因式法的概念;

             。2)提公因式法的關(guān)鍵是找出公因式,公因式的構(gòu)成一般情況下有三部分:①系數(shù)一各項系數(shù)的最大公約數(shù);②字母——各項含有的相同字母;③指數(shù)——相同字母的最低次數(shù);

             。3)提公因式法的步驟:第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并確定另一因式.需注意的是,提取完公因式后,另一個因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)一致,這一點可用來檢驗是否漏項.

              (4)注意點:①提取公因式后各因式應(yīng)該是最簡形式,即分解到“底”;②如果多項式的第一項的系數(shù)是負的,一般要提出“-”號,使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)是正的.

              2、公式法

              運用公式法分解因式的實質(zhì)是把整式中的乘法公式反過來使用;

              常用的公式:

             、倨椒讲罟剑 a2-b2= (a+b)(a-b)

             、谕耆椒焦剑篴2+2ab+b2=(a+b)2

              a2-2ab+b2=(a-b)2

              第十五章 分式

              知識點一:分式的定義

              一般地,如果A,B表示兩個整數(shù),并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A為分子,B為分母。

              知識點二:與分式有關(guān)的條件

             、俜质接幸饬x:分母不為0()

              ②分式無意義:分母為0()

             、鄯质街禐0:分子為0且分母不為0()

             、芊质街禐檎虼笥0:分子分母同號(或)

              ⑤分式值為負或小于0:分子分母異號(或)

             、薹质街禐1:分子分母值相等(A=B)

             、叻质街禐-1:分子分母值互為相反數(shù)(A+B=0)

              知識點三:分式的基本性質(zhì)

              分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于0的整式,分式的值不變。

              字母表示:,,其中A、B、C是整式,C0。

              拓展:分式的符號法則:分式的分子、分母與分式本身的符號,改變其中任何兩個,分式的值不變,即

              注意:在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時,要注意C0這個限制條件和隱含條件B0。

              知識點四:分式的約分

              定義:根據(jù)分式的基本性質(zhì),把一個分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分。

              步驟:把分式分子分母因式分解,然后約去分子與分母的公因。

              注意:①分式的分子與分母為單項式時可直接約分,約去分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù),然后約去分子分母相同因式的最低次冪。

             、诜肿臃帜溉魹槎囗検剑s分時先對分子分母進行因式分解,再約分。

              知識點四:最簡分式的定義

              一個分式的分子與分母沒有公因式時,叫做最簡分式。

              知識點五:分式的通分

             、 分式的通分:根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。

             、 分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的確定。

              最簡公分母的定義:取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母,這樣的公分母叫做最簡公分母。

              確定最簡公分母的一般步驟:

              Ⅰ 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);

             、 單獨出現(xiàn)的字母(或含有字母的式子)的冪的因式連同它的指數(shù)作為一個因式;

              Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的冪的因式取指數(shù)最大的。

             、 保證凡出現(xiàn)的字母(或含有字母的式子)為底的冪的因式都要取。

              注意:分式的分母為多項式時,一般應(yīng)先因式分解。

              知識點六分式的四則運算與分式的乘方

              ① 分式的乘除法法則:

              分式乘分式,用分子的積作為積的分子,分母的積作為積的分母。式子表示為:

              分式除以分式:把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘。式子表示為

             、 分式的乘方:把分子、分母分別乘方。式子

             、 分式的加減法則:

              同分母分式加減法:分母不變,把分子相加減。式子表示為

              異分母分式加減法:先通分,化為同分母的分式,然后再加減。式子表示為

              整式與分式加減法:可以把整式當(dāng)作一個整數(shù),整式前面是負號,要加括號,看作是分母為1的分式,再通分。

             、 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序

              先乘方、再乘除、后加減,同級運算中,誰在前先算誰,有括號的先算括號里面的,也要注意靈活,提高解題質(zhì)量。

              注意:在運算過程中,要明確每一步變形的目的和依據(jù),注意解題的格式要規(guī)范,不要隨便跳步,以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。

              加減后得出的結(jié)果一定要化成最簡分式(或整式)。

              知識點六整數(shù)指數(shù)冪

             、 引入負整數(shù)、零指數(shù)冪后,指數(shù)的取值范圍就推廣到了全體實數(shù),并且正正整數(shù)冪的法則對對負整數(shù)指數(shù)冪一樣適用。即

              科學(xué)記數(shù)法

              若一個數(shù)x是0的數(shù),則可以表示為(,即a的整數(shù)部分只有一位,n為整數(shù))的形式,n的確定n=從左邊第一個0起到第一個不為0的數(shù)為止所有的0的個數(shù)的相反數(shù)。如0.000000125=

              若一個數(shù)x是x>10的數(shù)則可以表示為(,即a的整數(shù)部分只有一位,n為整數(shù))的形式,n的確定n=比整數(shù)部分的數(shù)位的個數(shù)少1。如120 000 000=

              知識點七分式方程的解的步驟

             、湃シ帜,把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。(產(chǎn)生增根的過程)

             、平庹椒匠蹋玫秸椒匠痰慕狻

              ⑶檢驗,把所得的整式方程的解代入最簡公分母中:

              如果最簡公分母為0,則原方程無解,這個未知數(shù)的值是原方程的增根;如果最簡公分母不為0,則是原方程的解。

              產(chǎn)生增根的條件是:①是得到的整式方程的解;②代入最簡公分母后值為0。

              知識點八列分式方程

              基本步驟

             、 審—仔細審題,找出等量關(guān)系。

             、 設(shè)—合理設(shè)未知數(shù)。

             、 列—根據(jù)等量關(guān)系列出方程(組)。

              ④ 解—解出方程(組)。注意檢驗

             、 答—答題。

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