數(shù)學《平方差公式》導學案課件

數(shù)學《平方差公式》導學案課件

　　●教學目標

　　(一)教學知識點

　　1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程.

　　2.會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算.

　　(二)能力訓練要求

　　1.在探索平方差公式的過程中，發(fā)展學生的符號感和推理能力.

　　2.培養(yǎng)學生觀察、歸納、概括等能力.

　　(三)情感與價值觀要求

　　在計算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表達，從而體會數(shù)學語言的簡捷美.

　　●教學重點

　　平方差公式的推導和應(yīng)用.

　　●教學難點

　　用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.

　　●教學方法

　　探究與講練相結(jié)合.

　　使學生在計算的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并運用自己的語言進行表達，用符號證明這個規(guī)律，并探索出平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，在老師的講解和學生的練習中學會應(yīng)用.

　　●教學過程

　　Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

　　［師］你能用簡便方法計算下列各題嗎？

　　(1)2001×1999；(2)992－1

　　［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.

　　［師］很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運算，從而使運算很簡便.我們不妨觀察第(1)題，2001和1999，一個比2000大1，于是可寫成2000與1的和，一個比2000小1，于是可寫成2000與1的差，所以2001×1999就是2000與1這兩個數(shù)的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀察利用多項式與多項式相乘的法則算出來的結(jié)果為：20002－12，恰為這兩個數(shù)2000與1的平方差.即

　　(2000+1)(2000－1)=20002－12.

　　那么其他滿足這個特點的運算是否也有類似的結(jié)果呢？

　　我們不妨看下面的做一做.

　　Ⅱ.使學生在計算的過程中，通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言和符號表示其規(guī)律

　　［師］出示投影片(§1.7.1 A)

　　做一做：計算下列各題：

　　(1)(x+2)(x－2);

　　(2)(1+3a)(1－3a);

　　(3)(x+5y)(x－5y);

　　(4)(y+3z)(y－3z).

　　觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)？

　　［生］上面四個算式都是多項式與多項式的乘法.

　　［生］上面四個算式每個因式都是兩項.

　　［生］除上面兩個同學說的以外，更重要的是：它們都是兩個數(shù)的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個數(shù)的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個數(shù)的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個數(shù)的和與差的積.

　　［師］我們觀察出了算式的結(jié)構(gòu)特點.像這樣的多項式與多項式相乘，它們的結(jié)果如何呢？只要你肯動筆、動腦，相信你一定會探尋到答案.

　　［生］解：(1)(x+2)(x－2)

　　=x2－2x+2x－4=x2－4；

　　(2)(1+3a)(1－3a)

　　=1－3a+3a－9a2=1－9a2；

　　(3)(x+5y)(x－5y)

　　=x2－5xy+5xy－25y2

　　=x2－25y2；

　　(4)(y+3z)(y－3z)

　　=y2－3yz+3zy－9z2

　　=y2－9z2

　　(如有必要的話可以讓學生利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化成單項式與多項式相乘，進一步體會乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想)

　　［生］從剛才這位同學的運算，我發(fā)現(xiàn)：

　　即兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差.這和我們前面的一個簡便運算得出同樣的結(jié)果.

　　即

　　［師］你還能舉兩個例子驗證你的發(fā)現(xiàn)嗎？

　　［生］可以.例如：

　　(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；

　　(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.

　　即

　　上面兩個例子，同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差.

　　［師］為什么會有這樣的特點呢？

　　［生］因為利用多項式與多項式相乘的運算法則展開后，中間兩項是同類項且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零.只剩下這個數(shù)的平方差.

　　［師］很好！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對規(guī)律進行證明嗎？

　　［生］可以.上述規(guī)律用符號表示為：

　　(a+b)(a－b)=a2－b2 ①

　　其中a,b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項式、多項式.

　　利用多項式與多項式相乘的運算法則可以對規(guī)律進行證明，即

　　(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2

　　［師］同學們確實不簡單用符號表示和證明我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡捷明快.

　　你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個名字嗎？能形象直觀地反映出此規(guī)律的.

　　［生］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.

　　［師］大家同意嗎？

　　［生］同意.

　　［師］好了！這節(jié)課我們主要就是學習討論這個公式的.你能用語言描述這個公式嗎？

　　［生］可以.這個公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差.

　　［師］平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式.用它直接運算會很簡單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點才能利用它進行運算.

　　Ⅲ.體會平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項式乘法運算帶來的方便，進一步熟悉平方差公式.

　　［例1］(1)下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是( )

　　A.(x+1)(1+x) B.( a+b)(b－ a)

　　C.(－a+b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2)

　　E.(－a－b)(a－b) F.(c2－d2)(d2+c2)

　　(2)利用平方差公式計算：

　　(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);

　　(－m+n)(－m－n).

　　［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因為B.( a+b)(b－ a)利用加法交換律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b與 a這兩個數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點；E.(－a－b)(a－b),同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b與a這兩個數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點.

　　［師］為什么A、C、D不能用平方差公式呢？

　　［生］A、C、D表示的不是兩個數(shù)的和與差的積的形式.

　　［師］下面我們就來做第(2)題，首先分析它們分別是哪兩個數(shù)和與差的積的形式.

　　［生］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個數(shù)的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個數(shù)的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個數(shù)的和與差的形式.

　　［師］很好！下面我們就來用平方差公式計算上面各式.

　　［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;

　　(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;

　　(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.

　　［師］這位同學的思路非常清楚.下面我們再來看一個例題.

　　出示投影片(記作§1.7.1 C)

　　［例2］利用平方差公式計算：

　　(1)(－ x－y)(－ x+y);

　　(2)(ab+8)(ab－8);

　　(3)(m+n)(m－n)+3n2.

　　［師］同學們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學講評.

　　［生］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)與y的和與差的積

　　=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)與y的平方差

　　= x2－y2——運算至最后結(jié)果

　　(2)(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積

　　=(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差

　　=a2b2－64——運算至最后結(jié)果

　　(3)(m+n)(m－n)+3n2——據(jù)運算順序先計算m與n的和與差的積

　　=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式

　　=m2－n2+3n2——去括號

　　=m2+2n2——合并同類項至最簡結(jié)果

　　［生］剛才這位同學的運算有條有理，有根有據(jù)，我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點：

　　(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式.

　　(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式.

　　(3)有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式.

　　［生］還需注意最后的結(jié)果必須最簡.

　　［師］同學們總結(jié)的很好！下面我們再來練習一組題.

　　1.計算：

　　(1)(a+2)(a－2);

　　(2)(3a+2b)(3a－2b);

　　(3)(－x+1)(－x－1);

　　(4)(－4k+3)(－4k－3).

　　2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫在右框相應(yīng)的位置上.

　　解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;

　　(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;

　　(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;

　　(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.

　　2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;

　　(a－b)(a+b)=a2－b2;

　　(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;

　　(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)

　　=－a2－ab－ab－b2

　　=－a2－2ab－b2

　　(教師在讓學生做練習，可巡視練習的情況，對確實有困難的學生要給以指導)

　　Ⅳ.課時小結(jié)

　　［師］同學們有何體會和收獲呢？

　　［生］今天我們學習了多項式乘法運算中的一個重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.

　　［生］應(yīng)用這個公式要明白公式的特征：

　　(1)左邊為兩個數(shù)的和與差的積；

　　(2)右邊為兩個數(shù)的平方差.

　　［生］公式中的a、b可以是數(shù)，也可以是代表數(shù)的整式.

　　［生］有些式子表面上不能用公式，但通過適當變形實質(zhì)上能用公式.

　　［師］同學們總結(jié)的很好！還記得剛上課的一個問題嗎？計算992－1，現(xiàn)在想一想，能使它運算更簡便嗎？

　　［生］可以.992－1可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：

　　992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.

　　［師］我們發(fā)現(xiàn)平方差公式的應(yīng)用是很靈活的，只要你準確地把握它的結(jié)構(gòu)特征，一定能使你的運算簡捷明了.

　　Ⅴ.課后作業(yè)

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