數學等差和等比數列通項公式

關于數學等差和等比數列通項公式

　　關于數學等差和等比數列通項公式

　　1,a(1)=a,a(n)為公差為r的等差數列。

　　1-1，通項公式，

　　a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r.

　　可用歸納法證明。

　　n=1時，a(1)=a+(1-1)r=a。成立。

　　假設n=k時，等差數列的通項公式成立。a(k)=a+(k-1)r

　　則，n=k+1時，a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r.

　　通項公式也成立。

　　因此，由歸納法知，等差數列的通項公式是正確的。

　　1-2，求和公式，

　　S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)

　　=a+(a+r)+...+[a+(n-1)r]

　　=na+r[1+2+...+(n-1)]

　　=na+n(n-1)r/2

　　同樣，可用歸納法證明求和公式。（略）

　　2，a(1)=a,a(n)為公比為r（r不等于0）的等比數列。

　　2-1，通項公式，

　　a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1).

　　可用歸納法證明等比數列的通項公式。（略）

　　2-2，求和公式，

　　S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)

　　=a+ar+...+ar^(n-1)

　　=a[1+r+...+r^(n-1)]

　　r不等于1時，

　　S(n)=a[1-r^n]/[1-r]

　　r=1時，

　　S(n)=na.

　　同樣，可用歸納法證明求和公式。

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