中國剩余定理的解題技巧

中國剩余定理的解題技巧

　　剩余定理一般指孫子定理。孫子定理是中國古代求解一次同余式組（見同余）的方法。是數論中一個重要定理。以下是小編幫大家整理的中國剩余定理的解題技巧，希望對大家有所幫助。

　　中國剩余定理的解題技巧

　　有1個數，除以7余2，除以8余4，除以9余3，這個數至少是多少？

　　這種問題稱為“中國剩余定理”問題。

　　我一般用兩種方法解決這類問題。

　　第一種是逐步滿足法，方法麻煩一點，但適合所有這類題目。

　　第二種是最小共倍法，方法簡單，但只適合特殊類型的題目。

　　還有“中國剩余定理”的方法，但它不完善且解法較為復雜，普及應用有一定難度，還不穩定。所以一般不用。

　　下面分別介紹一下常用的兩種方法。

　　通用的方法：逐步滿足法

　　一個數，除以5余1，除以3余2。問這個數最小是多少？

　　把除以5余1的數從小到大排列：1，6，11，16，21，26……

　　然后從小到大找除以3余2的，發現最小的是11。

　　所以11就是所求的數。

　　先滿足一個條件，再滿足另一個條件，所以稱之為“逐步滿足法”。

　　好多數學題目都可以用逐步滿足的思想解決。

　　特殊的方法：最小公倍法

　　情況一

　　一個數除以5余1，除以3也余1。問這個數最小是多少？（1除外）

　　除以5余1：說明這個數減去1后是5的倍數。

　　除以3余1：說明這個數減去1后也是3的倍數。

　　所以，這個數減去1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個數減去1后就是3和5的最小公倍數。即這個數減去1后是15，所以這個數是15＋1=16。

　　情況二

　　一個數除以5余4，除以3余2。問這個數最小是多少？

　　這種情況也可以用特殊法。

　　數除以5余4，說明這個數加上1后是5的倍數。

　　數除以3余2，說明這個數加上1后也是3的倍數。

　　所以，這個數加上1后是3和5的公倍數。要求最小，所以這個數加上1后就是3和5的最小公倍數。即這個數加上1后是15，所以這個數是15－1=14。

　　多個數的，比如3個數的，有時候其中兩個可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個條件的數后再用通用的方法求滿足最后一個條件的數。

　　所以有時候特殊法和通用法混合使用。在使用的過程中如果能靈活運用余數問題的技巧，會非常有利于解題。

　　我們接下來分析最開始的那個問題。

　　有1個數，除以7余2，除以8余4，除以9余3，這個數至少是多少？

　　這道題目不能用特殊法，我們用通用法，解題過程中注意余數知識的運用。

　　除以7余2的數可以寫成7n＋2。

　　7n＋2這樣的數除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余數知識）

　　7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余數知識），則n最小取6。

　　所以滿足“除以7余2，除以8余4”的最小的數是7×6＋2=44。

　　所有滿足“除以7余2，除以8余4”的數都可以寫成44＋56×m。（想想為什么？）

　　要求44＋56×m除以9余3，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余數知識）

　　56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余數知識），則m最小取2。

　　所以滿足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的數是44＋56×2=156。

　　剩余定理是什么

　　剩余定理是數論中的一個重要定理，主要用于解決關于整數的一些問題。它主要分為以下幾種類型：

　　余同取余：如果一個數除以幾個不同的數，余數相同，那么這個數可以表示成這幾個除數的最小公倍數的倍數與余數相加的形式。例如，如果一個數除以3余1，除以4余1，除以10余1”，則這個數可表示為60n1。

　　和同加和：如果一個數除以幾個不同的數，除數與余數之和相同，那么這個數可以表示成這幾個除數的最小公倍數的倍數與該和相加的形式。例如，如果一個數除以5余4，除以6余3，除以8余1”，則這個數可表示為120n9。

　　差同減差：如果一個數除以幾個不同的數，除數與余數之差相同，那么這個數可以表示成這幾個除數的最小公倍數的倍數與該差相減的形式。例如，如果一個數除以3余1，除以4余2，除以10余8”，則這個數可表示為60n-2。

　　此外，剩余定理也被用于求解一些特定的數值問題，例如《孫子算經》中提到的“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二”的問題，可以通過剩余定理找到最小正整數解。

　　在實際應用中，剩余定理可以幫助我們確定一個數在被多個數除時的余數，進而推算出這個數本身。例如，如果我們知道一個數被3、5、7這三個數除都余2，我們可以利用這些信息來計算這個數。

　　綜上所述，剩余定理是一種重要的數論定理，它在解決問題時提供了簡潔且有效的解決方法。

　　技巧：

　　1、模線性同余方程求解：

　　對于單個模線性同余方程ax≡b(mod m)，可以利用擴展歐幾里得算法求出其解。

　　2、構造乘積形式：

　　根據定理內容，需要將原問題轉化為求一個數x，在每個模mi下都滿足給定的同余條件。這通常通過先分別對每個模求解，然后利用中國剩余定理的結論進行“拼接”。

　　3、使用遞歸或迭代法：

　　當模數較多時，可以采用逐次求解、逐步合并的方法，類似于輾轉相除法或者更高級的遞歸算法。

　　4、簡化問題：

　　如果發現某些模數之間不互質，可以通過約簡來簡化問題，即將不互質的模數合并成互質的模數。

　　5、利用程序實現：

　　對于復雜的問題，可以借助計算機編程語言如Python、C++等，利用已有的庫函數來快速高效地求解。

　　總結起來，靈活運用中國剩余定理的關鍵在于理解和熟練掌握模運算性質，并能夠針對具體問題選擇合適的求解策略。