雙曲線方程的知識點總結

雙曲線方程的知識點總結

　　雙曲線方程

　　1. 雙曲線的第一定義：

　　⑴①雙曲線標準方程：

　　. 一般方程：

　　⑵①i. 焦點在x軸上：

　　頂點：

　　焦點：

　　準線方程

　　漸近線方程：

　　或

　　ii. 焦點在

　　軸上：頂點：

　　. 焦點：

　　. 準線方程：

　　. 漸近線方程：

　　或

　　，參數方程：

　　或

　　②軸

　　為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率

　　. ④準線距

　　(兩準線的距離);通徑

　　. ⑤參數關系

　　. ⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程

　　分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)

　　“長加短減”原則：

　　構成滿足

　　(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號)

　　⑶等軸雙曲線：雙曲線

　　稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為

　　，離心率

　　⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.

　　與

　　互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：

　　⑸共漸近線的雙曲線系方程：

　　的漸近線方程為

　　如果雙曲線的漸近線為

　　時，它的雙曲線方程可設為

　　例如：若雙曲線一條漸近線為

　　且過

　　，求雙曲線的方程?

　　解：令雙曲線的方程為：

　　，代入

　　得

　　⑹直線與雙曲線的位置關系：

　　區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;

　　區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;

　　區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;

　　區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;

　　區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.

　　小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.

　　(2)若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入

　　法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.

　　⑺若P在雙曲線

　　，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m?n.

　　簡證：

　　常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.