《勾股定理》教學設計范文
一、內容和內容解析
1.內容
勾股定理的探究、證明及簡單應用.
2.內容解析
勾股定理的內容是：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，那么
.它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.在直角三角形中，已知任意兩邊長，就可以求出第三邊長.勾股定理常用來求解線段長度或距離問題.
勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)，到網格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過程.證明勾股定理的關鍵是利用割補法求以斜邊為邊長的正方形的面積，教學中要注意引導學生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質，提出一般的猜想，并獲得定理的證明.
我國古代在數(shù)學方面又許多杰出的研究成果，對于勾股定理的研究就是一個突出的例子.教學中可以介紹我國古代在勾股定理的證明和應用方面取得的成就和作出的貢獻，以培養(yǎng)學生的民族自豪感;圍繞證明勾股定理的過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的熱情和信心.
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：探索并證明勾股定理.
二、目標和目標解析
1.教學目標
(1)經歷勾股定理的探究過程.了解關于勾股定理的文化歷史背景，通過對我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學生的民族自豪感.
(2)能用勾股定理解決一些簡單問題.
2.目標解析
(1)學生通過觀察直角三角形的三邊為邊長的正方形面積之間的關系，歸納并合理地用數(shù)學語言表示勾股定理的結論.理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路，能通過割補法構造圖形證明勾股定理.了解勾股定理相關的史料，知道我國古代在研究勾股定理上的杰出成就.
(2)學生能運用勾股定理進行簡單的計算，關鍵是已知直角三角形的兩邊長能求第三條邊的長度.
三、教學問題診斷分析
勾股定理是反映直角三角形三邊關系的一個特殊的結論.在正方形網格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系，進而得出三邊之間的關系.但要從等腰直角三角形過渡到網格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學生有較大困難.學生第一次嘗試用構造圖形的方法來證明定理存在較大的困難，解決問題的關鍵是要想到用合理的割補方法求以斜邊為邊的正方形的面積.因此，在教學中需要先引導學生觀察網格背景下的正方形的面積關系，然后思考沒有網格背景下的正方形的面積關系，再將這種關系表示成邊長之間的關系，這有利于學生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理.
本節(jié)課的教學難點是：勾股定理的探究和證明.
四、教學過程設計
1. 創(chuàng)設情境 復習引入
國際數(shù)學家大會是最高水平的全球性數(shù)學學科學術會議，被譽為數(shù)學界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學家大會.右圖就是大會會徽的圖案.你見過這個圖案嗎?它由哪些我們學過的基本圖形組成?這個圖案有什么特別的意義?前面我們學習了有關三角形的知識，我們知道，三角形有三個角和三條邊.
問題1 三個角的數(shù)量關系明確嗎?三條邊的數(shù)量關系明確嗎?
師生活動 教師引導，學生回答。
【設計意圖】回顧三角形的內角和是180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關系引導學生思考，三角形三邊之間是否存在等量關系.
我們學習過等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質.研究特例是數(shù)學研究的一個方向，直角三角形是有一個角為直角的特殊三角形，中國古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾”，較長的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.
直角三角形中最長的邊是哪條邊?為什么?它們除了大小關系，有沒有更具體的數(shù)量關系呢?這就是我們要研究的問題.
2.觀察思考，探究定理
問題2 相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關系.三個正方形A，B，C的面積有什么關系?
畢達哥拉斯(公元前572---前492年),古希臘著名的哲學家、數(shù)學家、天文學家。
師生活動 學生觀察圖形，分析、思考其中隱含的規(guī)律.通過直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù)，或者用割補的方法將小正方形A，B中的等腰直角三角形補成一個大正方形，得出結論：小正方形A，B的面積之和等于大正方形C的面積.
追問 由這三個正方形A，B，C的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長之間有怎樣的特殊關系?
師生活動 教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方，歸納出：等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設計意圖】從最特殊的直角三角形入手，通過觀察正方形面積關系得到三邊關系，對等腰直角三角形邊長關系進行初步的一般化.
問題3 在網格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A，B，C的面積是否也有類似的關系?
師生活動 學生動手計算，分別求出A，B，C的面積并尋求它們之間的關系.
追問 正方形A，B，C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關系?
師生活動 學生獨立思考后分組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形面積，可由師生共同總結得出可以通過割、補兩種方法求出其面積，教師在學生回答的基礎上歸納方法---割補法.可求得C的面積為13，教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.
【設計意圖】為方便計算，網格中的直角三角形邊長通常設定為整數(shù)，進一步體會面積割補法，為探究無網格背景下直角三角形三邊關系打下基礎，提供方法.
問題4 通過前面的探究活動，思考：直角三角形三邊之間應該有什么關系?
師生活動 教師引導學生表述：如果直角三角形兩直角邊長分別為，，斜邊長為，那么
【設計意圖】在網格背景下通過觀察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三邊關系后，猜想直角三角形的三邊關系是很容易的.
問題5 以上直角三角形的邊長都是具體的數(shù)值，一般情況下，如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊長為c，我們的猜想仍然成立嗎?
師生活動 要求學生通過獨立思考，用a，b表示c.如圖，用“割”的方法可得;用“補”的方法可得.這兩個式子經過整理都可以得到即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.中國人稱它為“勾股定理”，外國人稱它為“畢達哥拉斯定理”.
【設計意圖】從網格驗證到脫離網格，通過割補構造圖形和計算推導出一般結論.
問題6 歷史上各國對勾股定理都有研究，下面我們看看我國古代的數(shù)學家趙爽對勾股定理的研究，并通過小組合作完成教科書拼圖法證明勾股定理.
師生活動 教師展示“弦圖”，并介紹：這個圖案是公元3世紀三國時期的趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形(朱實)可以如圖圍成一個大正方形，中間部分是一個小正方形(黃實).我們剛才用割的方法證明使用的就是這個圖形，教師介紹勾股定理相關史料，勾股定理的證明方法據(jù)說有400多種，有興趣的同學可以搜集研究一下.
【設計意圖】通過拼圖活動，調動學生思維的積極性，為學生提供從事數(shù)學活動的機會，發(fā)展學生的形象思維，使學生對定理的理解更加深刻，體會數(shù)學中數(shù)形結合的思想.通過對趙爽弦圖的介紹，了解我國古代數(shù)學家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻，增強民族自豪感，通過了解勾股定理的證明方法，增強學生學習數(shù)學的自信心.
3.初步應用，鞏固新知
例1 畫一個直角三角形
，
，它的兩直角邊分別是
，量一量它的斜邊
是多少厘米?算一算，你量的結果對嗎?
師生活動 學生操作，教師個別指導.
【設計意圖】通過運算，培養(yǎng)學生的運算能力并正確運用勾股定理解決直角三角形的邊長問題.通過測量進一步驗證勾股定理所得結論的正確性.
例2 在直角三角形中，各邊的長如圖，求出未知邊的長度.
師生活動 學生計算，教師檢驗.
【設計意圖】勾股定理是通過構造圖形法通過面積關系進行證明的.所以勾股定理本質上是反映面積關系的.如果直角三角形的兩條直角邊長分別為
，
，斜邊長為
，那么
.通過對等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關系：
;
;
.在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應用勾股定理求解，也可建立方程解決問題，滲透方程思想.
例3 螞蟻沿圖中的折線從A點爬到D點，一共爬了多少厘米?
師生活動 學生觀察、思考、計算，教師檢驗.
【設計意圖】設計實際問題背景，提高學生分析問題和解決問題的能力.
4.歸納小結，反思提高
師生共同回顧本節(jié)課所學主要內容，并請學生回答以下問題：
(1)勾股定理總結的是什么數(shù)量關系?
(2)勾股定理有什么作用?
(3)閱讀教科書，總結教科書提供的勾股定理的其他證明方法.了解中國人的偉大和外國人的智慧.
【設計意圖】讓學生從不同角度談本節(jié)課學習的主要內容，在學習過程中感受到中國數(shù)學文化博大精深和數(shù)學的美，感悟數(shù)形結合的思想，增強對數(shù)學學習的自信.
5.布置作業(yè)
(1)教科書第28頁第1題;
(2)通過互聯(lián)網收集定理的多種證法.自主探究定理的證明.
五、目標檢測設計
1.直角三角形的周長為12，斜邊長為5，其面積為( )
A.12 B.10 C.8 D.6
【設計意圖】勾股定理的簡單計算，結合三角形的周長和面積知識進行求解.
2.等邊三角形的高是h，則它的面積是( )
A.
B.
C.
D.
【設計意圖】勾股定理的應用和三角形的面積公式.
3.直角三角形
中，
，
，求
和
.
【設計意圖】考查學生運用勾股定理的能力.
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