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            三角函數(shù)中考數(shù)學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)分析

            時(shí)間:2022-07-02 23:10:12 考試 我要投稿
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            三角函數(shù)中考數(shù)學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)分析

              銳角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec),余割(csc)都叫做角A的銳角三角函數(shù)。

              正弦(sin)等于對(duì)邊比斜邊;sinA=a/c

              余弦(cos)等于鄰邊比斜邊;cosA=b/c

              正切(tan)等于對(duì)邊比鄰邊;tanA=a/b

              余切(cot)等于鄰邊比對(duì)邊;cotA=b/a

              正割(sec)等于斜邊比鄰邊;secA=c/b

              余割(csc)等于斜邊比對(duì)邊。cscA=c/a

              互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系

              sin(90-)=cos,cos(90-)=sin,

              tan(90-)=cot,cot(90-)=tan。

              平方關(guān)系:

              sin^2()+cos^2()=1

              tan^2()+1=sec^2()

              cot^2()+1=csc^2()

              積的關(guān)系:

              sin=tancos

              cos=cotsin

              tan=sinsec

              cot=coscsc

              sec=tancsc

              csc=seccot

              倒數(shù)關(guān)系:

              tancot=1

              sincsc=1

              cossec=1

              銳角三角函數(shù)公式

              兩角和與差的三角函數(shù):

              sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

              sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB?

              cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

              cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

              tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

              tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

              cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

              cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

              三角和的三角函數(shù):

              sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsin

              cos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos

              tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)

              輔助角公式:

              Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)sin(+t),其中

              sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

              cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

              tant=B/A

              Asin+Bcos=(A^2+B^2)^(1/2)cos(-t),tant=A/B

              倍角公式:

              sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)

              cos(2)=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()

              tan(2)=2tan/[1-tan^2()]

              三倍角公式:

              sin(3)=3sin-4sin^3()

              cos(3)=4cos^3()-3cos

              半角公式:

              sin(/2)=((1-cos)/2)

              cos(/2)=((1+cos)/2)

              tan(/2)=((1-cos)/(1+cos))=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin

              降冪公式

              sin^2()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2

              cos^2()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2

              tan^2()=(1-cos(2))/(1+cos(2))

              萬(wàn)能公式:

              sin=2tan(/2)/[1+tan^2(/2)]

              cos=[1-tan^2(/2)]/[1+tan^2(/2)]

              tan=2tan(/2)/[1-tan^2(/2)]

              積化和差公式:

              sincos=(1/2)[sin(+)+sin(-)]

              cossin=(1/2)[sin(+)-sin(-)]

              coscos=(1/2)[cos(+)+cos(-)]

              sinsin=-(1/2)[cos(+)-cos(-)]

              和差化積公式:

              sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]

              sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]

              cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]

              cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]

              推導(dǎo)公式:

              tan+cot=2/sin2

              tan-cot=-2cot2

              1+cos2=2cos^2

              1-cos2=2sin^2

              1+sin=(sin/2+cos/2)^2

              其他:

              sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0

              cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0以及

              sin^2()+sin^2(-2/3)+sin^2(+2/3)=3/2

              tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0

              函數(shù)名正弦余弦正切余切正割余割

              在平面直角坐標(biāo)系xOy中,從點(diǎn)O引出一條射線OP,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為,設(shè)OP=r,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)有

              正弦函數(shù)sin=y/r

              余弦函數(shù)cos=x/r

              正切函數(shù)tan=y/x

              余切函數(shù)cot=x/y

              正割函數(shù)sec=r/x

              余割函數(shù)csc=r/y

              正弦(sin):角的對(duì)邊比上斜邊

              余弦(cos):角的鄰邊比上斜邊

              正切(tan):角的對(duì)邊比上鄰邊

              余切(cot):角的鄰邊比上對(duì)邊

              正割(sec):角的斜邊比上鄰邊

              余割(csc):角的斜邊比上對(duì)邊

              三角函數(shù)萬(wàn)能公式

              萬(wàn)能公式

              (1)(sin)^2+(cos)^2=1

              (2)1+(tan)^2=(sec)^2

              (3)1+(cot)^2=(csc)^2

              證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sin)^2,第二個(gè)除(cos)^2即可

              (4)對(duì)于任意非直角三角形,總有

              tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

              證:

              A+B=-C

              tan(A+B)=tan(-C)

              (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)

              整理可得

              tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

              得證

              同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=n(nZ)時(shí),該關(guān)系式也成立

              由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論

              (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

              (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

              (7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

              (8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

              萬(wàn)能公式為:

              設(shè)tan(A/2)=t

              sinA=2t/(1+t^2)(A+,kZ)

              tanA=2t/(1-t^2)(A+,kZ)

              cosA=(1-t^2)/(1+t^2)(A+,且A+(/2)kZ)

              就是說(shuō)sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來(lái)表示,當(dāng)要求一串函數(shù)式最值的時(shí)候,就可以用萬(wàn)能公式,推導(dǎo)成只含有一個(gè)變量的函數(shù),最值就很好求了。

              三角函數(shù)關(guān)系

              倒數(shù)關(guān)系

              tancot=1

              sincsc=1

              cossec=1

              商的關(guān)系

              sin/cos=tan=sec/csc

              cos/sin=cot=csc/sec

              平方關(guān)系

              sin^2()+cos^2()=1

              1+tan^2()=sec^2()

              1+cot^2()=csc^2()

              同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法

              構(gòu)造以上弦、中切、下割;左正、右余、中間1的正六邊形為模型。

              倒數(shù)關(guān)系

              對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù);

              商數(shù)關(guān)系

              六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積,下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。)。由此,可得商數(shù)關(guān)系式。

              平方關(guān)系

              在帶有陰影線的三角形中,上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。

              兩角和差公式

              sin(+)=sincos+cossin

              sin(-)=sincos-cossin

              cos(+)=coscos-sinsin

              cos(-)=coscos+sinsin

              tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)

              tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)

              二倍角的正弦、余弦和正切公式

              sin2=2sincos

              cos2=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()

              tan2=2tan/(1-tan^2())

              tan(1/2*)=(sin)/(1+cos)=(1-cos)/sin

              半角的正弦、余弦和正切公式

              sin^2(/2)=(1-cos)/2

              cos^2(/2)=(1+cos)/2

              tan^2(/2)=(1-cos)/(1+cos)

              tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos

              萬(wàn)能公式

              sin=2tan(/2)/(1+tan^2(/2))

              cos=(1-tan^2(/2))/(1+tan^2(/2))

              tan=(2tan(/2))/(1-tan^2(/2))

              三倍角的正弦、余弦和正切公式

              sin3=3sin-4sin^3()

              cos3=4cos^3()-3cos

              tan3=(3tan-tan^3())/(1-3tan^2())

              誘導(dǎo)公式

              誘導(dǎo)公式的本質(zhì)

              所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式,就是將角n(/2)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)。

              常用的誘導(dǎo)公式

              公式一:設(shè)為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:

              sin(2k)=sinkz

              cos(2k)=coskz

              tan(2k)=tankz

              cot(2k)=cotkz

              公式二:設(shè)為任意角,的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

              sin()=-sin

              cos()=-cos

              tan()=tan

              cot()=cot

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