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初中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課堂實(shí)錄
課題：
初一數(shù)學(xué)“比較線段的長短”（第一課時）
課堂實(shí)錄：
課前探究
情景1：教師不小心把課本掉在教室門口，請同學(xué)幫我撿一下，并解釋你為什么選擇這條路線？
情景2：《課本》P89，如圖，小狗和小貓為什么都選擇直的路線？“難道它們也懂?dāng)?shù)學(xué)？”
師：小組先合作，討論一下。
（學(xué)生紛紛討論，興致極高）
（幾分鐘后）
師：那位同學(xué)能把你們組討論的結(jié)果告訴大家。
（學(xué)生們爭先恐后地舉手）
師：請4組的5 號同學(xué)回答。
生1：我會走最直的路線去撿這本書。（該生說著并沿直線走了過去，快速把書撿了起來）
師：同學(xué)們，他為什么選擇這樣的路線？而不選擇別的路線？
生2：這樣好走。
生3：這樣走最省時間。
生4：這樣走簡單。
…… ……
生6：這樣走最近。
師：為什么這樣走最近？
生5：因?yàn)檫@樣走時直的。
生6：直的最近。
師：（贊許）這位同學(xué)回答得非常好！因?yàn)槭侵本�，所以這條路線最短。
師：現(xiàn)在請大家思考一下，如果把小狗用一個點(diǎn)A表示，把獵物用另一個點(diǎn)B表示，那么小狗走的路線就是線段AB，把它作為第①路線；從Ａ走到點(diǎn)Ｂ，除了線段ＡＢ，還可以有無數(shù)條路線，如第②路線，第③路線……（老師在黑板上畫出圖形。）
從圖中，大家可以看出在這些線中，哪條最短？
生：（異口同聲）①最短。
師：（板書）
１.在兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短。簡稱“兩點(diǎn)之間線段最短”。
２.兩點(diǎn)間線段的長度，叫做兩點(diǎn)之間的距離，
師：關(guān)于這兩個知識點(diǎn)，請大家注意以下幾點(diǎn)
① 兩點(diǎn)之間線段最短，不是直線最短。
② 兩點(diǎn)間線段的長度，叫兩點(diǎn)間距離。注意是線段的長度。
師：請大家理解一下這兩個知識點(diǎn)。
（設(shè)計(jì)意圖：①問題情境的創(chuàng)設(shè)從“老師的書掉到地上尋求幫助”、“小貓和小狗為了搶食物而奔跑”這樣學(xué)生比較熟悉的生活背景出發(fā)，提出了“難道它們也懂?dāng)?shù)學(xué)？”的疑問，這樣的引入，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)就在我們身邊，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲。使課堂的一開始就充滿靈動的神韻。②把小狗、獵物表示為一個點(diǎn)，把小狗的行走路線表示為一條直線，這樣把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題并板書于黑板，教師輔助以語言講解，讓學(xué)生充分直觀地體會“到兩點(diǎn)之間線段最短”，明確兩點(diǎn)之間距離的含義，并初步了解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。③根據(jù)課堂教學(xué)的需要以及學(xué)生的思路適時調(diào)整提問方式，環(huán)環(huán)相扣的提出問題，啟而不發(fā)的引導(dǎo)學(xué)生使他們的思路向主題靠攏；并從學(xué)生的回答中，不失時機(jī)的挖掘“閃光點(diǎn)”，加以引申引導(dǎo)，以達(dá)到本節(jié)課的授課目的。）
2 米山中學(xué)袁吉玲
圓與圓的位置關(guān)系
師出示幻燈片
你認(rèn)識上面的幾何圖形嗎？他們由哪些圖形組成？
生答:多個圓
師指出：這節(jié)課我們來探究圓與圓的位置關(guān)系。（標(biāo)課題）
圓與圓有幾種位置關(guān)系？
師指導(dǎo)探究一：
我們研究直線與圓的位置關(guān)系時以公共點(diǎn)的個數(shù)來區(qū)分的，圓與圓的位置關(guān)系我們也從公共點(diǎn)的個數(shù)來區(qū)分的話有幾種位置關(guān)系？
（1）自己動手在兩張透明紙上畫兩個大小不同的圓，固定其中一個移動另一個，觀察兩圓有幾種不同位置關(guān)系.
（2）觀看兩圓位置關(guān)系演示，試著把它們畫出來.
生動手，師巡視后請學(xué)生到黑板板演
兩個圓沒公共點(diǎn)如圖：（1）（2）（3）
一個公共點(diǎn)如
圖（4）(5)
兩圓有2個
公共點(diǎn)如圖（6）
師問：兩圓有沒有三個公共點(diǎn)？
生答：沒有。
師問：為什么？
生A答：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個圓，如果有三個公共點(diǎn)，那么這兩個圓就重合為一個圓。
師問：看圖1、2、都沒有公共點(diǎn)，兩圓的位置關(guān)系有沒有不同的點(diǎn)？
生答：有不同點(diǎn)
師問：不同點(diǎn)是？
生丁答1中一個圓的所有點(diǎn)在另個圓的外部，2中其中一個圓的所有點(diǎn)在另個圓的內(nèi)部。
師指出圖一位置關(guān)系我們稱外圖二位置關(guān)系稱內(nèi)涵，圖三的位置關(guān)系是內(nèi)含的特例：同心圓
師問那么圖4和5有沒有異同點(diǎn)，如果有是什么？
生答；有，一個圓的所有點(diǎn)都在另一個圓的內(nèi)部，一個圓的所有點(diǎn)在另一個的外部
師質(zhì)疑：公共點(diǎn)T是在圓的外部還是在內(nèi)部？
生更正：一個圓的所有點(diǎn)除公共點(diǎn)外都在另一個圓的內(nèi)部，一個圓的所有點(diǎn)初公共點(diǎn)外在另一個的外部
師指出圖4的位置關(guān)系是外切，圖5的位置關(guān)系是內(nèi)切，可以統(tǒng)稱為相切。圖6的位置關(guān)系我們稱相交。
師問：兩個不等圓有幾種位置關(guān)系，他們是什么？
生答：5種，外離，外切，相交，內(nèi)切，內(nèi)含
師問：如果兩圓沒有公共點(diǎn)那么兩圓的位置關(guān)系是？如果兩圓有一個公共點(diǎn)那么兩圓的位置關(guān)系是？
生答：外離、內(nèi)含，外切、內(nèi)切。
師問：兩個不等圓有5種位置關(guān)系，那么兩個相等的圓有幾種位置關(guān)系。
生答：三種。外離、外切、相交。
師：兩不等圓的這5種位置關(guān)系是不是軸對稱圖形？如果是，對稱軸是什么？
在學(xué)生討論的過程中，教師適當(dāng)引導(dǎo)：我們知道圓是軸對稱圖形，任何過圓心的直線都是它的對稱軸，那么兩圓在各種位置關(guān)系中的組合圖形還是軸對稱圖形嗎？對稱軸是什么？學(xué)生爭先恐后地回答：是，對稱軸是過兩圓心的直線。師：過兩圓心的直線我們叫連心線。
大家再觀察（4）（5）圖形，還能發(fā)現(xiàn)什么？在這里學(xué)生容易觀察出切點(diǎn)在對稱軸上，但說明切點(diǎn)在連心線上有一定困難，特給予一定的時間討論,教師給予清楚地分析。
師：我們在研究直線與圓的位置關(guān)系的時候，除了從定性的角度（公共點(diǎn)的個數(shù)）還從定量的角度來分析他們的位置關(guān)系，下面我們也從定量的角度來分析兩圓的位置關(guān)系。
師問：兩圓的位置關(guān)系與哪些量有關(guān)？有怎樣的關(guān)系？
師課件展示：兩圓半徑不動，移動位置改變兩圓的位置關(guān)系；兩圓的位置不動，改變圓的大小從而改變兩圓的位置關(guān)系 學(xué)生回答：兩圓的位置關(guān)系由兩圓的圓心距和兩圓的半徑有關(guān)，
師再問：有什么關(guān)系？
師指導(dǎo)探究二、要求學(xué)生先獨(dú)立思考后小組合作交流，再生生交流釋疑
在這個過程中教師巡視指導(dǎo)后由生到黑板板演關(guān)系
外離 d＞r1＋r2
外切 d=r1＋r2
相交 r1-r2＜d＜r1＋r2
內(nèi)切d=r1-r2
內(nèi)含0＜＝d＜r1-r2
師問：下面的同學(xué)是否同意上面的觀點(diǎn)？
生B答：內(nèi)切內(nèi)含要說明r1要大于r2
并且內(nèi)含要有等于0的情況。
師質(zhì)疑：為什么？
此生答：因?yàn)榈葓A沒有內(nèi)切、內(nèi)含的位置關(guān)系。內(nèi)含時有一種特例：同心圓，此時圓心距為零。師給予肯定。
師總結(jié)提高，在數(shù)軸上表
在判斷兩圓的位置關(guān)系的時候，一般先計(jì)算兩圓半徑的和與差，
學(xué)以致用
兩圓的半徑分別為3和5，兩圓心距為9、8、 7 、6 、5 、4、 3 、2、 1 時兩圓的位置關(guān)系是什么？
生答：外離，外切，相交，相交，相交，相交，相交，內(nèi)切，內(nèi)含師指導(dǎo)小組合作自學(xué)例題后做課后隨堂練習(xí)和變式訓(xùn)練。 變式訓(xùn)練：
兩圓相切，一圓半徑為6，圓心距為4，求另一圓的半徑。
兩圓半徑分別為6和8，兩圓相交，求圓心距。
（教師巡視，抽生到黑板板演）
3 崔明宇
通過問題鏈，啟動學(xué)生們的思維，在解決問題的過程中引出課題并解決課題也不失為一種好的方法。比如：
配方法是初中數(shù)學(xué)中比較重要的一種方法。在一元二次方程的解法、二次函數(shù)中都有涉及。但是講授配方法卻經(jīng)常令人無從下手。
我以為，巧借數(shù)形結(jié)合這種思想可以很好的加以解決。“一元二次方程解法”導(dǎo)入：
師：我們學(xué)過了直接開平方解一元二次方程，請你舉出幾個這樣的方程。（學(xué)生舉例）這種方程具有什么特點(diǎn)？
生：等式的一邊是含有未知數(shù)的整式的平方，另一邊是一個非負(fù)數(shù)。
師：看圖①，已知正方形的邊長為x，它的面積可以表示為 ,如果邊長增加4，新正方形的邊長為 ,面積表示為 ,如果新正方形面積為400，由此可以列方程 。能求出原來正方形的邊長x嗎？
學(xué)生不難列出方程（x+4）2=400,并且輕而易舉利用直接開平方法求出原正方形的邊長x。
師：在圖①中，右下角的小正方形的邊長是 ,面積是 。我們截去這個小正方形，把余下的三部分拼成圖②形狀，現(xiàn)在這個圖形是個矩形，它的邊長分別是 、 ,面積可以表示成 ,實(shí)際上它的面積是 ,于是我們也可以列出一個方程 。
生：x(x+8)=384，即x2+8x=384。（一）
師：這個方程怎樣解？（將學(xué)生一軍，在此之前進(jìn)行的都比較順利，基本沒有障礙，但這個問題把學(xué)生難住了。）
師趁熱打鐵，把圖②拼成圖③形狀。現(xiàn)在不是正方形了，需要補(bǔ)上一塊什么樣的圖形才能得到一個大正方形？ （學(xué)生回答：4 x4=16的正方形 ）。原來面積是 （384）,現(xiàn)在大正方形面積 （384+16=400）,現(xiàn)在正方形邊長是 （x+4） 。 可得方程x2+8x+42=384+42，即（x+4）2=400（二）
對比方程（一）、（二），實(shí)際上就是方程（一）的兩邊都加上了一個數(shù)42得到方程（二），這樣方程經(jīng)過我們的操作左邊配成了一個我們熟悉的式子：完全平方式。所以這個方程對我們來說就沒有困難了，我們可以通過直接開平方的方法來解它。
生歸納，師點(diǎn)撥：為什么方程（一）不能用直接開平方的方法解，而方程（二）能呢？哪一步比較重要？是怎樣處理的？引出課題：這就是我們要研究的配方法解一元二次方程。
通過這種問題鏈的形式，層層遞進(jìn)，一步一個腳印，一步一個臺階，穩(wěn)扎穩(wěn)打，循序漸進(jìn)，本來水窮山盡疑無路，最終卻柳暗花明又一村。
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