數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：正弦與余弦定理和公式

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：正弦與余弦定理和公式

　　正弦定理

　　在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R為三角形外接圓的半徑)

　　其次，余弦的應(yīng)用領(lǐng)域

　　余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

　　在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：

　　(1)已知三角形的兩角與一邊，解三角形

　　(2)已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

　　(3)運(yùn)用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

　　直角三角形的一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦

　　正弦定理的變形公式

　　(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;

　　(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一個(gè)三角形中，各邊與其所對角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時(shí)，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題

　　(3)相關(guān)結(jié)論： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R(R為外接圓半徑)

　　(4)設(shè)R為三角外接圓半徑，公式可擴(kuò)展為：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90°時(shí)，所對的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理，還需要知道它的幾個(gè)變形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

　　(5)a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a

　　正弦、余弦典型例題

　　1.在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，則sinA 的值為

　　2.已知α為銳角，且，則 α 的度數(shù)是( ) A.30° B.45° C.60° D.90°

　　3.在△ABC中，若，∠A，∠B為銳角，則∠C的度數(shù)是( ) A.75° B.90° C.105° D.120°

　　4.若∠A為銳角，且，則A=( ) A.15° B.30° C.45° D.60°

　　5.在△ABC中，AB=AC=2，AD⊥BC，垂足為D，且AD= ，E是AC中點(diǎn)， EF⊥BC，垂足為F，求sin∠EBF的值。

　　正弦、余弦解題訣竅

　　1、已知兩角及一邊，或兩邊及一邊的對角(對三角形是否存在要討論)用正弦定理

　　2、已知三邊，或兩邊及其夾角用余弦定理

　　3、余弦定理對于確定三角形形狀非常有用，只需要知道最大角的余弦值為正，為負(fù)，還是為零，就可以確定是鈍角。直角還是銳角。