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高中數學韋達定理公式

時間：2024-01-16 14:15:16 藝勛其他我要投稿

高中數學韋達定理公式

　　韋達定理說明了一元二次方程中根和系數之間的關系。下面是小編為大家帶來的高中數學韋達定理公式，歡迎閱讀。

高中數學韋達定理公式

　　韋達定理公式：

　　一元二次方程ax^2+bx+c (a不為0)中

　　設兩個根為x和y

　　則x+y=-b/a

　　xy=c/a

　　韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個n次方程∑AiX^i=0

　　它的根記作X1，X2…，Xn

　　我們有

　　∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

　　∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

　　…

　　∏Xi=(-1)^n*A(0)/A(n)

　　其中∑是求和，∏是求積。

　　如果一元二次方程

　　在復數集中的根是，那么法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。

　　由代數基本定理可推得：任何一元n次方程

　　在復數集中必有根。因此，該方程的左端可以在復數范圍內分解成一次因式的乘積：

　　其中是該方程的個根。兩端比較系數即得韋達定理。

　　韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。

　　定理的證明

　　設x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個解，且不妨令x_1 ge x_2。根據求根公式，有：

　　x_1=frac{-b + sqrt {b^2-4ac}}，x_2=frac{-b - sqrt {b^2-4ac}}

　　所以：

　　x_1+x_2=frac{-b + sqrt {b^2-4ac} + left (-b ight) - sqrt {b^2-4ac}} =-frac，

　　x_1x_2=frac{ left (-b + sqrt {b^2-4ac} ight) left (-b - sqrt {b^2-4ac} ight)}{left (2a ight)^2} =frac

　　韋達定理的意義：

　　根的判別式是判定方程是否有實根的充要條件，韋達定理說明了根與系數的關系。

　　無論方程有無實數根，實系數一元二次方程的根與系數之間適合韋達定理。

　　判別式與韋達定理的結合，則更有效地說明與判定一元二次方程根的狀況和特征。

　　韋達定理最重要的貢獻是對代數學的推進，它最早系統地引入代數符號，推進了方程論的發展，用字母代替未知數，指出了根與系數之間的關系。

　　韋達定理為數學中的一元方程的研究奠定了基礎。

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