高中數學公式參考

高中數學公式參考

　　一.方差的概念與計算公式

　　例1 兩人的5次測驗成績如下：

　　X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;

　　Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

　　平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。

　　方差描述隨機變量對于數學期望的偏離程度。

　　單個偏離是

　　消除符號影響

　　方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

　　直接計算公式分離散型和連續型，具體為：

　　這里 是一個數。推導另一種計算公式

　　得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

　　其中，分別為離散型和連續型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動

　　二.方差的性質

　　1.設C為常數，則D(C) = 0(常數無波動);

　　2. D(CX )=C2 D(X ) (常數平方提取);

　　證：

　　特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)

　　3.若X 、Y 相互獨立，則

　　證：記

　　則

　　前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開后為

　　當X、Y 相互獨立時，

　　故第三項為零。

　　特別地

　　獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

　　方差公式：

　　平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組數據個數，x1、x2、x3……xn表示這組數據具體數值)

　　方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n

　　三.常用分布的方差

　　1.兩點分布

　　2.二項分布

　　X ~ B ( n, p )

　　引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分布)

　　3.泊松分布(推導略)

　　4.均勻分布

　　另一計算過程為

　　5.指數分布(推導略)

　　6.正態分布(推導略)

　　7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

　　8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

　　正態分布的后一參數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特征是相符的。

　　例2 求上節例2的方差。

　　解 根據上節例2給出的分布律，計算得到

　　工人乙廢品數少，波動也小，穩定性好。

　　方差的定義：

　　設一組數據x1,x2,x3······xn中，各組數據與它們的平均數x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)，(x2-x拔)······(xn-x拔)，那么我們用他們的平均數s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+·····(xn-x拔)】來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。