數學立方和的公式推導過程

數學立方和的公式推導過程

　　我們知道：

　　0次方和的求和公式N^0＝N+1

　　1次方和的求和公式N^1＝N(N+1)/2

　　2次方和的求和公式N^2＝N(N+1)(2N+1)/6

　　取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

　　系數可由楊輝三角形來確定

　　那末就有：

　　(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

　　N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

　　(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

　　...................

　　2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

　　于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

　　左邊=(N+1)^4-1

　　右邊=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

　　所以呢

　　把以上這已經證得的三個公式帶入

　　4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

　　得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

　　移項后得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

　　等號右側合并同類項后得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+2N^3+N^2)

　　即

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2

　　大功告成！

　　立方和公式推導完畢

　　1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2

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