向量線性相關判斷方法總結

向量線性相關判斷方法總結

　　向量的相關知識，是線性代數中較為抽象的部分，向量線性相關與線性無關的判定方法多，性質多，定理多，需要大家注重總結、認真梳理。下面是小編為你帶來的向量線性相關判斷方法總結 ，歡迎閱讀。

　　向量線性相關判斷方法總結 1

　　在數學中，幾何向量（也稱為歐幾里得向量，通常簡稱向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。與之對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）

　　向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向；線段長度：代表向量的大小。

　　向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如a、b、u、v），書寫時在字母頂上加一小箭頭→。[1]如果給定向量的起點（A）和終點（B），可將向量記作AB（并于頂上加→）。給空間設一直角坐標系，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

　　而在物理學和工程學中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向墻而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯系，例如向量勢對應于物理中的勢能。

　　幾何向量的`概念在線性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。因此，平日閱讀時需按照語境來區分文中所說的"向量"是哪一種概念。不過，依然可以找出一個向量空間的基來設置坐標系，也可以透過選取恰當的定義，在向量空間上介定范數和內積，這允許我們把抽象意義上的向量類比為具體的幾何向量。

　　向量線性相關判斷方法總結 2

　　判斷向量組線性相關的方法有：行列式判別法、向量線性表示法、齊次線性方程組法、秩的判定法。

　　1、行列式判別法：將向量組的向量按列排成矩陣，計算該矩陣的行列式。如果行列式的值為0，則向量組線性相關；如果行列式的值不為0，則向量組線性無關。

　　2、向量線性表示法：對于向量組中的任意一個向量，可以通過其他向量的線性組合表示出來。如果存在不全為零的系數使得線性組合等于零向量，則向量組線性相關；如果唯一的線性組合是零向量，則向量組線性無關。

　　3、齊次線性方程組法：將向量組的向量按列排成矩陣，構造齊次線性方程組Ax=0，其中A為系數矩陣，x為未知向量。如果齊次線性方程組有非零解，則向量組線性相關；如果齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無關。

　　4、秩的判定法：將向量組的向量按列排成矩陣，計算該矩陣的秩。如果秩小于向量的個數，則向量組線性相關；如果秩等于向量的個數，則向量組線性無關。

　　線性無關的向量組在數學中的重要性

　　1、線性無關的向量組可以用作基礎。在線性代數中，一個向量空間可以由一組線性無關的向量作為基來生成。這些基向量可以用來表示向量空間中的任意向量，而且表示方式是唯一的。基向量的選擇對于描述向量空間的性質和操作非常重要。

　　2、線性無關的'向量組可以用于解決線性方程組。在線性方程組的求解過程中，我們可以利用線性無關的向量組來構建增廣矩陣，并通過高斯消元法等方法求解方程組的解。

　　3、線性無關的向量組可以用于描述幾何空間。在幾何學中，線性無關的向量組可以用來表示平面、直線或更高維度的幾何對象。

　　向量線性相關判斷方法總結 3

　　令向量組的線性組合為零（零向量），研究系數的取值情況，線性組合為零當且僅當系數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的系數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。通過向量組的正交性研究向量組的相關性。當向量組所含向量的個數多于向量的維數時，該向量組一定線性相關。

　　線性相關定理

　　1、向量a1,a2,…,an(n≧2)線性相關的充要條件是這n個向量中的`一個為其余(n-1)個向量的線性組合。

　　2、一個向量線性相關的充分條件是它是一個零向量。

　　3、兩個向量a、b共線的充要條件是a、b線性相關。

　　4、三個向量a、b、c共面的充要條件是a、b、c線性相關。

　　5、n+1個n維向量總是線性相關。

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